Đề chọn đội tuyển HSG Toán dự thi Quốc gia năm 2019 Sở GD&ĐT Đồng Tháp

TuanToan.com giới thiệu đến bạn đọc đề Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp Quốc gia năm 2019 của Sở GD&ĐT Đồng Tháp. Đề thi gồm 1 trang với 5 bài toán tự luận, thang điểm 20, thời gian làm bài 180 phút, được tổ chức vào ngày 12/07/2018 và có kèm đáp án, lời giải chi tiết.

Đánh giá nội dung đề thi

1. Bài toán trò chơi trên bảng ô vuông

• Nội dung khai thác một trò chơi di chuyển quân cờ trên bảng $m\times n$.
• Học sinh cần xác định điều kiện để người đi trước luôn có chiến thắng.

👉 Nhận xét:

• Đây là dạng bài tổ hợp – chiến lược rất hay, đòi hỏi tư duy logic và khả năng phân tích trạng thái trò chơi.
• Không chỉ đếm số bước đi mà còn phải tìm quy luật thắng – thua.
• Dạng này phù hợp để tuyển chọn học sinh có năng lực suy luận tốt.

2. Bài toán hình học với đường thẳng và đường tròn

• Cho đường thẳng $d$, điểm $A$ không thuộc $d$, các điểm $B,C$ thay đổi trên $d$ sao cho một tích đoạn thẳng không đổi.
• Yêu cầu chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua một điểm cố định và quỹ tích của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$.

👉 Nhận xét:

• Đây là bài hình học rất đẹp, kết hợp giữa đường tròn, hình học giải tích và quỹ tích.
• Học sinh cần nắm chắc các tính chất của đường tròn, lực của điểm và quan hệ vuông góc – đồng quy.
• Độ khó cao, có khả năng phân loại rất tốt.

3. Bài toán số học – phương trình mũ

• Xét phương trình x31+y5=z2018x^{31} + y^5 = z^{2018}x31+y5=z2018.
• Yêu cầu chứng minh có vô số bộ ba số nguyên thỏa mãn và xét sự tồn tại của bộ ba số nguyên dương.

👉 Nhận xét:

• Đây là bài số học – phương trình Diophantine có tính khám phá cao.
• Học sinh cần biết cách xây dựng nghiệm, suy luận từ lũy thừa và parity/đặc tính số nguyên.
• Dạng bài này thường không cần kỹ thuật nặng mà thiên về ý tưởng sáng tạo.

Nhận xét chung về đề thi

Đề thi có mức độ rất cao, đúng chất của một đề chọn đội tuyển HSG Quốc gia:

• Mỗi bài đều có chiều sâu và đòi hỏi ý tưởng rõ ràng.
• Kiến thức trải rộng từ tổ hợp, hình học đến số học.
• Không có câu hỏi thuần kỹ thuật, mà yêu cầu khả năng suy nghĩ độc lập và trình bày chặt chẽ.

Kết luận

Đây là một đề thi rất chất lượng, giàu tính phân loại và phù hợp để bồi dưỡng học sinh giỏi theo hướng chuyên sâu. Những em có nền tảng tốt về tư duy tổ hợp, hình học và số học sẽ học được rất nhiều từ đề này. TuanToan.com hy vọng tài liệu sẽ là nguồn tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh và các bạn đang ôn luyện đội tuyển HSG.